Задача 1. Изучите установившееся потенциальное течение идеальной жидкости по трубе прямоугольного сечения. Внутри трубы имеются выступы и различные препятствия. Постройте линии тока.

Функция тока, характеризующая потенциальное течение жидкости, удовлетворяет уравнению Лапласа. Запишите его в конечных разностях:

Для решения задачи используется программа ПР-1. Результаты расчета функции тока представлены на рис. 1 и 2.

Программа ПР-1.

Рис. 1. Результаты расчета потенциального течения.

Рис. 2. Расчет линий тока потенциального течения.

Задача 2. Исследуйте установившееся безвихревое течение вязкой жидкости в длинной трубе (канале) постоянного сечения, внутри которой движется бесконечно длинное тело.

Это течение инвариантно по отношению к переносам в направлении движения. Для его расчета следует определить скорости в сечении, перпендикулярном направлению течения (оси z), т. е. решить уравнение:

Используется программа ПР-2. Необходимо правильно задать граничные условия. Слои вязкой жидкости, прилегающие к поверхности твердого тела, имеют одинаковую с ним скорость. Если жидкость имеет свободную поверхность, то скорость частиц этой поверхности равна скорости частиц, расположенных слоем ниже. Результаты расчета обтекания длинного корпуса корабля и катамарана (рис. 3).

Программа ПР-2.

Рис. 3. Течение вязкой жидкости.

Задача 3. Рассчитайте течение вязкой жидкости в бесконечно длинной трубе произвольного сечения при наличии разности давлений на концах трубы.

Задача 4. Поток вязкой несжимаемой жидкости набегает на бесконечно длинный цилиндр. Течение ламинарное. Рассчитайте поле скоростей, постройте линии тока.

Поле скоростей симметрично относительно вертикальной и горизонтальной плоскостей, проходящих через ось цилиндра. Поэтому достаточно рассчитать поле скоростей в одном квадранте декартовой системы координат XOY. Из уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости для двумерного поля скоростей:

Рис. 4. К расчету поля скоростей в потоке вязкой жидкости.

Так как отсутствуют источники, то

Расчет течения сводится к нахождению распределения скоростей, удовлетворяющему записанным дифференциальным уравнениям и граничным условиям (рис. 4):

В конечных разностях получаем:

Так как во всех узлах сетки v_x неотрицательно, v_y неположительно, то из равенства дивергенции вектора скорости нулю следует, что v_x,i,j - v_y,i,j = v_x,i-1,j - v_y,i,j+1. В самом деле, суммарный поток вектора скорости через нижнюю и левую стенки квадратной ячейки должен быть равен суммарному потоку через верхнюю и правую стенки. Для границы CB должно выполняться:

Используемая программа ПР-3 содержит вложенные циклы по i и j, в которых перебираются все узлы двумерной сетки и вычисляются значения проекций скорости. Затем отдельно для каждого узла находится коэффициент:

и пересчитываются проекции скорости так, чтобы дивергенция вектора скорости равнялась нулю. В процессе расчета поля скоростей программа строит векторы скорости в узлах сетки (процедура Draw1). Чтобы нарисовать линии тока в левую часть вводятся маркеры, которые смещаются в направлении течения жидкости (процедура Draw2).

Программа ПР-3.

Рис. 5. Обтекание цилиндра вязкой жидкостью

Задача 5. Между двумя горизонтальными пластинами течет без завихрений вязкая жидкость. Внутри потока имеется источник тепла известной мощности. Гравитационное поле отсутствует. Необходимо рассчитать поле скоростей и температур.

Рассмотрите двумерный поток вязкой жидкости, в котором находятся источники тепла. Ось Ox направим в направлении течения, а ось Oy – перпендикулярно пластинам. Распределение скоростей и температур может быть найдено из уравнений переноса:

Для моделирования этого явления используется программа ПР-4, содержащая цикл по времени, в котором сначала рассчитывается поле скоростей (первые 300 итераций), а затем поле температур (рис. 6).

Программа ПР-4.

Рис. 6. Результаты расчета поля температур и скоростей

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-9.pas.

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .