Стержень устанавливают на горизонтальную поверхность так, чтобы он образовывал некоторый угол с вертикалью, и отпускают. Необходимо рассчитать координаты его концов при падении в последовательные моменты времени.

Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек m₁ и m₂, связанных между собой невесомым упругим стержнем. Длина стержня в недеформированном состоянии равна l₀, при его сжатии возникают силы упругости F₁ и F₂. Будем считать, что нижний конец стержня A скользит по горизонтальной поверхности, не отрываясь от нее (y₁=0). При этом на него действует сила вязкого трения F_ТР, пропорциональная скорости и направленная в сторону, противоположную движению. Проекции сил, действующих на материальные точки m₁ и m₂, вычисляются из формул:

В программе ПР - 4.1 в последовательные моменты времени пересчитывают силы, действующие на материальные точки, их ускорения, скорости и координаты. Результаты моделирования падения стержня при различных значениях коэффициента сопротивления r представлены на рис. 4.1.2. При необходимости можно рассчитать траекторию движения центра масс стержня, зависимость его угла наклона от времени и т. д.

Лестницу прислоняют к стене и отпускают. Напишите программу, моделирующую падение лестницы, если известно, что ее концы с трением скользят по поверхностям стены и пола, не отрываясь от них.

Вместо лестницы рассмотрим систему двух материальных точек массами m₁ и m₂, соединенных невесомым упругим стержнем жесткостью k и длиной l₀. Эти точки как бы скользят по вертикальной и горизонтальной направляющим, при этом на них действует сила вязкого трения, прямо пропорциональная скорости и направленная в противоположную сторону. Найдите действующие на точки силы:

Программа ПР - 4.2 содержит цикл по времени, в котором вычисляются силы, действующие на материальные точки, определяются их ускорения, скорости и координаты, а также координаты центра масс. На экране монитора изображается положение лестницы в последовательные моменты времени.

Промоделируйте плоское движение тела в поле тяжести, при котором его центр масс движется по кривой, а само тело вращается вокруг центра масс. Используйте модель, состоящую из двух материальных точек, связанных упругим стержнем.

Рассмотрите систему из двух материальных точек, соединенных упругим стержнем. Проекции сил, действующих на точки, могут быть вычислены по формулам:

Программа ПР - 4.3 содержит цикл по времени, в котором вычисляются действующие силы, ускорения, скорости и координаты точек. На экране строятся положения стержня в последовательные моменты времени. Программа позволяет промоделировать: 1) отскок стержня от стены и пола; 2) движение системы в случае, когда массы точек сильно отличаются; 3) движение системы при не очень большой жесткости стержня.

На тележке массой m₁ подвешен маятник, состоящий из тела массой m₂ и нити длиной l. Маятник выводят из положения равновесия и отпускают. В подшипниках тележки действует сила вязкого трения. Напишите программу, моделирующую затухающие колебания системы.

Заменим систему "маятник-тележка" системой, состоящей из двух материальных точек m₁ и m₂, связанных упругим стержнем жесткостью k и длиной l₀. Материальная точка m₁ способна скользить по горизонтальной линии так, что ее координата y₂ остается постоянной. При этом на нее действует сила вязкого трения, направленная противоположно скорости и пропорциональная ее величине. Проекции сил, действующих на точки системы, вычисляются по формулам:

В предлагаемой программе ПР - 4.4 осуществляется расчет действующих на точки сил, а также проекций их ускорений, скоростей и координат в последовательные моменты времени. Результаты моделирования представлены на рис. 4.4.

На горизонтальной поверхности покоится кольцо (труба), к внутренней стороне которого прикреплен груз. Расстояние от оси кольца до его центра масс известно. Кольцо смещают из положения равновесия и отпускают. Изучите: 1) колебания кольца относительно положения равновесия; 2) движение кольца после того, как ему сообщили начальную скорость.

Необходимо рассчитать расстояние от центра кольца O до центра масс C, момент M силы тяжести, момент инерции I относительно мгновенной оси вращения A. Для этого следует использовать формулы:

Зная момент силы и момент инерции, можно определить угловое ускорение тела в последовательные моменты времени, вычислить угловую скорость и угол поворота, а также горизонтальную координату центра кольца. При этом используется программа ПР-1, результаты представлены на рис. 4.5.2, 4.5.3. Чтобы промоделировать качение кольца со смещенным центром масс, следует задать начальную скорость (рис. 4.5.4).

Брусок в форме прямоугольного параллелепипеда плавает на поверхности жидкости. Координаты центра масс, плотности жидкости и бруска известны. Определите расположение бруска относительно поверхности жидкости.

Расположение бруска относительно поверхности воды однозначно определяется величинами d и φ (рис. 4.6.1). Пусть a = 3, b = 1. Задача решается так. Положим, что φ=0. Будем увеличивать d от -3 с некоторым шагом, каждый раз вычисляя объем погруженной части бруска и определяя силу Архимеда. Плотность бруска ρ меньше плотности жидкости ρ₀, поэтому сила Архимеда превысит силу тяжести, когда тело не полностью погрузится в жидкость. Нарисуем поверхность жидкости AB и определим положение центра плавучести P.

Брусок будет находиться в положении устойчивого равновесия тогда, когда центр масс C находится точно под центром плавучести P, то есть углы φ и φ₁ равны. Если это условие не выполняется, будем увеличивать угол φ с некоторым шагом, каждый раз определяя величину d, положение центра плавучести P и проверяя равенство углов φ и φ₁ (оно может выполняться с небольшой погрешностью). Когда углы φ и φ₁ окажутся равными, программы должна вывести результат вычислений.

Для нахождения объема погруженной части тела Vp необходимо найти площадь S фигуры, выделенной точками. Для этого используется метод прямоугольников:

                              
For i:=-100 to 100 do begin
x:=dx*i; y:=sin(fi)/cos(fi)*x+d;
If y>b then y:=b; If y<-b then y:=-b;
S:=S+(y+b)*dx;
end;

Чтобы найти координаты xpl и ypl центра плавучести, внутрь прямоугольника случайным образом бросим 100000 точек и подсчитаем количество точек, попавших в заштрихованную область S, соответствующую погруженной части тела. Используется следующий фрагмент программы:

                              
Repeat x:=(random(200)/100-1)*a;
y:=(random(200)/100-1)*b;
yl:=sin(fi)/cos(fi)*x+d; inc(N);
if y100000;
xpl:=sx/(nn+0.01); ypl:=sy/(nn+0.01);

Результаты работы программы ПР - 4.6 представлены на рис. 4.6.2 и 4.6.3. Программа рисует прямоугольное сечение бруска и определяет положение поверхности жидкости AB и центра плавучести. Сила Архимеда направлена вдоль вертикали MN. В состоянии устойчивого равновесия центр масс C и центр плавучести P лежат на одной вертикали MN. Изображение, получающееся на экране монитора, представлено в левой части рис. 4.6.2 и 4.6.3.