МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Задача 1.

Имеется пластина с прямоугольным отверстием. Правая сторона пластины теплоизолирована, остальные поддерживаются при постоянной температуре. В противоположных углах пластины расположены источник тепла и источник холода. Необходимо рассчитать распределение температуры в последовательные моменты времени.

Уравнение теплопроводности для двумерной среды в конечных разностях имеет вид:

Для расчета распределения температуры по поверхности пластины используется программа ПР-1. Она содержит цикл по времени с вложенными в него двумя циклами по i и по j, в которых перебираются все элементы пластины и вычисляются их температуры в последующие моменты времени. Результат решения задачи представлен на рис. 1, - на нем разными цветами изображены области с различными температурами. Изотермы (границы разноцветных областей) перпендикулярны теплоизолированным краям пластины и параллельны краям, температура которых поддерживается постоянной.

Программа ПР-1.

Рис. 1. Распределение температуры: двумерная среда

Задача 2.

Пластина состоит из трех полосок с различными коэффициентами теплопроводности. Нижняя сторона пластины теплоизолирована, остальные поддерживаются при постоянной температуре. В разных местах пластины расположены протяженный источник тепла и источник холода. Необходимо рассчитать распределение температуры в последовательные моменты времени.

Заменяя частные производные их конечно-разностными аппроксимациями, запишите уравнение теплопроводности для неоднородной двумерной среды в конечных разностях:

Для решения задачи используется программа ПР-2. В ней последовательно перебираются узлы двумерной сетки по строкам и по столбцам. Когда переменная naprav равна 0, то элементы перебираются по столбцам сверху вниз и снизу вверх. Когда переменная naprav равна 1, то элементы перебираются по строкам слева направо и справа налево. Нижний край пластины теплоизолирован, это задается циклом: 

For i:=1 to N do t[i,M]:=t[i,M-1];

Все остальные края пластины поддерживаются при постоянной температуре. Результат работы программы представлен на рис. 2.

Программа ПР-2.

Рис. 2. Теплопроводность в неоднородной среде

Задача 3.

Имеется неоднородный стержень, известна начальная температура различных его точек, координаты и мощность источника тепла (холода). Один конец теплоизолирован, другой поддерживается при постоянной температуре. Необходимо рассчитать распределение температуры вдоль стержня.

Для решения задачи может быть использован алгоритм АЛ-1.

                                  Алгоритм АЛ-1
НАЧАЛО ПРОГРАММЫ
ДЛЯ i:=1 ДО N ДЕЛАТЬ {- 
    ЕСЛИ (i>18)И(i<22) ТО T[i]:=5 ИНАЧЕ T[i]:=0.1; -}
ДЛЯ j:=1 ДО N ДЕЛАТЬ {- 
    ЕСЛИ j>20 ТО k[j]:=1.8 ИНАЧЕ k[j]:=1; -}
ПОВТОРЯТЬ ДО НАЖАТИЯ НА КЛАВИШУ
{==   kk:=kk+1; 
ДЛЯ i:=2 ДО N-1 ДЕЛАТЬ { 
    ЕСЛИ (i>80) И (i<83) ТО q:=0.5 ИНАЧЕ q:=0;
    TT[i]:=T[i]+k[i]*(T[i+1]-2*T[i]+T[i-1])*dt/(h*h)+
    (k[i+1]-k[i-1])*(T[i+1]-T[i-1])*dt/(4*h*h)+q*dt;  }
ДЛЯ i:=2 ДО N-1 ДЕЛАТЬ { T[i]:=TT[i]; } 
T[1]:=0.1; T[N]:=T[N-1];
ЕСЛИ kk/1000=round(kk/1000) ТО { 
    ДЛЯ i:=2 ДО N ДЕЛАТЬ {-  
          ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ (i, T[i]);  -} 
==}
КОНЕЦ ПРОГРАММЫ

В программе ПР-3 используются два массива T[i] и TT[i], в которых сохраняются значения температуры элементов стержня в моменты t и t+1 соответственно. Расчет температуры осуществляется по выведенной выше формуле в цикле. Будем считать, что длина стержня l, его коэффициент температуропроводности k при x>0,2l равен 1,8, а при x<0,2l равен 1. Температура точек с координатами от 0,18l до 0,22l равна T1; все остальные точки имеют температуру T21. Точки, координата x которых лежит в интервале от 0,81l до 0,82l, нагреваются источником тепла известной мощностью q. Левый конец поддерживается при постоянной температуре, а правый -- теплоизолирован. Результаты решения задачи при других начальных и граничных условиях представлены на рис. 3.

Программа ПР-3.

Рис. 3. Теплопроводность стержня

Задача 4.

Имеется однородная пластина, на которой расположены источник тепла и источник холода известной мощности. Один край пластины теплоизолирован, другой поддерживается при постоянной температуре. Необходимо решить уравнение теплопроводности в полярных координатах и рассчитать температуру в различных точках пластины.

Эта нестационарная задача требует решения следующего уравнения теплопроводности в полярных координатах:

В конечных разностях получаем:

Программа ПР-4.

Для решения этой задачи используется программа ПР-4. Он содержит два вложенных цикла по i и j, в которых перебираются все узлы двумерной сетки и пересчитываются значения T[i,j] на следующем временном слое. При ее запуске на экране появляется цветное изображение, границы одноцветных областей соответствуют изотермам. Пример результата вычислений приведен на рис. 4.

Рис. 4. Решение уравнения теплопроводности в полярных координатах.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-7.pas.

ВВЕРХ

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .

Сайт управляется системой uCoz