Задача 1. Между двумя бесконечно большими вертикальными пластинами находится слой жидкости толщиной d. Температуры пластин постоянны и равны T1 и T2=0. Считая, что плотность жидкости прямо пропорциональна температуре, рассчитайте ее установившееся течение (поле скоростей).

Направим ось Ox перпендикулярно пластинам, а ось Оz –– вертикально. При достаточно больших t установится стационарное распределение температуры T(x)=T2x/d (рис. 1). Запишем одномерное уравнение конвекции в конечных разностях:

Программа ПР-1, используемая для решения этой задачи, содержит цикл по времени, в котором перебираются все узлы одномерной сетки и вычисляются значения скорости v_i на итерационном шаге t+1. При этом получающееся распределение скоростей релаксирует к истинному распределению (рис. 1).

Программа ПР-1.

Рис. 1. Расчет течения между пластинами с разными температурами

Задача 2. Рассчитайте конвективное движение жидкости в полости прямоугольного сечения при подогреве снизу. Промоделируйте возникновение конвективных валов и ячеек Бенара.

Требуется рассчитать конвективное движение жидкости в полости квадратного сечения при подогреве сбоку. Для этого следует совместно решить систему ДУЧП из уравнений Навье - Стокса в переменных "функция тока - вихрь скорости" и уравнения теплопроводности:

Здесь T - температура, q - мощность источников тепла. Для численного решения этой системы уравнений строят конечно-разностную схему и задают граничные условия для функции тока, вихря скорости и температуры. Программа ПР-2, моделирующая конвективные течения вязкой жидкости в прямоугольной полости при различном распределении температуры стенок и источников тепла, представлена выше. Граничные условия заданы в процедуре Gr_usl. Они соответствуют случаю, когда дно сосуда имеет более высокую температуру и в результате конвекции возникают конвективные валы (в трехмерном случае - ячейки Бенара).

Программа ПР-2.

На рис. 2 и 3 сверху показано распределение функции тока (границы разноцветных областей - линии тока), а снизу - распределение температуры (границы - изотермы). Созданная компьютерная модель позволяет провести целую серию вычислительных экспериментов, изучая конвекцию при различных вязкости, теплопроводности, плотности жидкости, размерах полости, температурах ее стенок, мощностях и положениях источников тепла (холода). Например, на рис. 8 показан результат расчета поля скоростей (слева) и поля температур (справа) в случае, когда нагревается левая стенка полости. Хорошо видно, что возникает вихревое движение жидкости, более нагретые слои поднимаются по левой стенке вверх, затем вправо и опускаются. При запуске программы на экране монитора возникают цветные динамические анимации, формирующие наглядный образ изучаемых явлений.

Рис. 2. Поля скоростей и температур при конвекции (подогрев снизу).

Рис. 3. Моделирование конвекции и образования валов (ячеек Бенара)

Задача 3. Прямоугольная полость заполнена вязкой жидкостью. Температура левой стенки полости поддерживается высокой. Необходимо рассчитайте конвективное течение жидкости, определить поле скоростей и температур.

Используется та же программа ПР-2. В ней необходимо изменить граничные условия. Результат моделирования представлен на рис. 4 и 5. На экране появляется распределение функции тока и поле температур. Изолинии функции тока являются линиями тока.

Рис. 4. Результаты моделирования конвекции (подогрев сбоку).

Рис. 5. Поле скоростей и поле температур при конвективном течении

Задача 4. Прямоугольная полость заполнена вязкой жидкостью. Температура левой стенки полости поддерживается высокой, а правой стенки - низкой. Необходимо рассчитать конвективное течение жидкости, определить поле скоростей и температур.

Необходимо задать граничные условия соответствующим образом. Результат моделирования представлен на рис. 6.

Рис. 6. Конвекция при разности температур между боковыми стенками

Задача 5. Внутрь сосуда, наполненного вязкой жидкостью, помещают источник тепла. Промоделируйте конвективные потоки жидкости. Получите распределение функции тока и температуры.

На рис. 7 и 8 моделируется конвективное движение жидкости, когда внутри нее находится точечный источник тепла. Нагретые слои жидкости (газа), поднимаясь вверх, образуют вихрь, похожий на гриб атомного взрыва. Если источник тепла смещен в сторону, то течение несимметрично (рис. 9).

Рис. 8. Точечный источник тепла расположен на оси симметрии

Рис. 9. Точечный источник тепла смещен влево

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-92.pas.

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .